Question

已知函數(shù)．（a為常數(shù)，a＞0）
（Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）求證：當0＜a≤2時，f（x）在上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的a∈（1，2），總存在 ，使不等式f（x）＞m（1-a²）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其導函數(shù)：，利用是函數(shù)f（x）的一個極值點對應的結論f'（）=0即可求a的值；
（Ⅱ）利用：，在0＜a≤2時，分析出因式中的每一項都大于等于0即可證明結論；

（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為，把問題轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（1，2），不等式恒成立；然后再利用導函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：由題得：．
（Ⅰ）由已知，得且，∴a²-a-2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分）
（Ⅱ）當0＜a≤2時，∵，∴，
∴當時，．又，
∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函數(shù)．（5分）
（Ⅲ）a∈（1，2）時，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為，
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式恒成立．
記，（1＜a＜2）
則，
當m=0時，，∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0，
由于a²-1＞0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴．
若，可知g（a）在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故，
這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g（a）＞g（1）=0，滿足題設要求，
∴，即，
所以，實數(shù)m的取值范圍為．（14分）
點評：本題第一問主要考查利用極值求對應變量的值．可導函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點．