Question

設(shè)函數(shù)在上的最大值為（）．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：對(duì)任何正整數(shù)n (n≥2)，都有成立；

（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有成立．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求得，令，得或，因?yàn)橐�考慮根與定義域的位置關(guān)系，故需討論n的取值．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，將定義域分段，并考慮導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，劃分單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)大致圖象，進(jìn)而求最大值，從而求得；（2）由（1）得，將所求證不等式等價(jià)變形為，，再利用二項(xiàng)式定理證明；（3）由（2）得，，再將不等式放縮為可求和的數(shù)列問題處理．

（1）

，

當(dāng)時(shí)，由知或，

當(dāng)時(shí)，則，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

所以

當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，

∴在處取得最大值，即，

綜上所述，.

（2）當(dāng)時(shí)，要證，只需證明

∵

∴,所以，當(dāng)時(shí)，都有成立．

（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；

當(dāng)時(shí)，由（II）知

．

所以，對(duì)任意正整數(shù)，都有成立． 13分

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；2、二項(xiàng)式定理；3、放縮法．