Question

【題目】己知橢圓上動點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn).

（1）若，求證：為定值；

（2）點(diǎn)，若，求證：直線過定點(diǎn)；

（3）若，求證：直線為定圓的切線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)，可求得，進(jìn)而由在橢圓上，代入橢圓方程并整理可得，進(jìn)而由，整理可得為定值；

（2）易知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立并消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由，且直線的斜率均存在，可得到，將其展開并結(jié)合韋達(dá)定理，可用表示，進(jìn)而可知直線過定點(diǎn)；

（3）當(dāng)斜率都存在時(shí)，設(shè)出兩直線的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，可得到、的表達(dá)式，進(jìn)而可設(shè)到直線的距離為，則，整理可得，即到直線的距離為定值；當(dāng)的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，可求得直線的方程，進(jìn)而可求出圓心到直線的距離也為相同定值.

證明：（1）由題意，設(shè)，

則，

由在橢圓上，則，

代入得，，

整理得，，

因?yàn)?/span>，所以，

則，

∴為定值；

（2）易知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，

聯(lián)立，消去得，，

則，，

由，且直線的斜率均存在，

，整理得，

因?yàn)?/span>，，

所以，，

整理得，，

所以，

整理得，，

即，所以，或，

因?yàn)?/span>，所以，所以直線恒過定點(diǎn)；

（3）當(dāng)斜率都存在時(shí)，

設(shè)方程為，，

則方程為，

聯(lián)立，可得，

所以，

同理可得，

設(shè)到直線的距離為，即為斜邊上的高，

則，

故當(dāng)斜率都存在時(shí)，到直線的距離為定值.

當(dāng)的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，此時(shí)直線為連接長軸和短軸端點(diǎn)的一條直線，方程為或，

點(diǎn)到直線的距離為.

綜上，原點(diǎn)到直線的距離為定值，即直線為定圓的切線.