Question

在△ABC中，已知a、b、c分別是角A、B、C的對邊，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對一切實數(shù)x恒成立．
（1）求角C的最大值；
（2）若角C取得最大值，且a=2b，求角B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）易知cosC=0不滿足條件，因此cosC≠0，由不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對一切實數(shù)x恒成立?△=16sin²C-24cosC≤0，cosC＞0，化為2cos²x+3cosx-2≥0，
解得及0＜C＜π，即可得到角C取得最大值．
（2）角C取得最大值時為，由a=2b，根據(jù)正弦定理可得sinA=2sinB，于是，化為，與sin²B+cos²B=1聯(lián)立及B＜A，即可得出．
解答：解：（1）易知cosC=0不滿足條件，因此cosC≠0，
由不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對一切實數(shù)x恒成立，
∴△=16sin²C-24cosC≤0，cosC＞0，化為2cos²x+3cosx-2≥0，
解得，
又0＜C＜π，當cosC=時，角C取得最大值．
（2）角C取得最大值時為，
∵a=2b，根據(jù)正弦定理可得sinA=2sinB，
∴，化為，與sin²B+cos²B=1聯(lián)立解得．
∴a=2b，∴B＜A，∴．
∴．
點評：熟練掌握一元二次不等式的解集與判別式△的關(guān)系、分類討論的思想方法、三角函數(shù)的單調(diào)性、平方關(guān)系、兩角和差的正弦余弦公式等是解題的關(guān)鍵．