Question

（2004•寧波模擬）（理）已知復(fù)數(shù)z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，其中A，B，C是△ABC的內(nèi)角，若|z|=

3 2

4

．
（1）求證：tgA•tgB=

1

9

；
（2）當(dāng)∠C最大時，存在動點M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差數(shù)列，求

|MC|

|AB|

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由復(fù)數(shù)z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，|z|=

3 2

4

可求得4cos（A-B）=5cos（A+B），展開整理即可；
（2）設(shè)|AB|=2a，由題意可求得：|MA|+|MB|=2|AB|=4a，故M在以A，B為焦點的橢圓上，該橢圓長半軸為2a，半焦距為a，短半軸為

3

a，從而建立坐標(biāo)系，設(shè)出橢圓的方程，設(shè)M（x，y），利用配方法可求

|MC|

|AB|

的最大值．

解答：證明：（1）∵|z|2=[

5

2

sin

A+B

2

]2+[cos

A-B

2

]2=[

3 2

4

]2…（2分）
∴

5

4

•

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

8

，
整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴9sinA•sinB=cosA•cosB，
∴tgA•tgB=

1

9

…（5分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)≤-

9

4

tgA•tgB

=-

3

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)tgA=tgB=

1

3

時，tgC最大，即∠C最大 …（8分）
設(shè)|AB|=2a，
∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，
∴M在以A，B為焦點的橢圓上，橢圓長半軸為2a，半焦距為a，短半軸為

3

a，…（10分）
以直線AB為x軸，AB中點為原點，建立坐標(biāo)系，
設(shè)橢圓方程為

x2

4a2

+

y2

3a2

=1，M(x，y)則

|MC|2

|AB|2

=

x2+(y- a 3 )2

4a2

=-

y2

12a2

-

y

6a

+

37

36

=-

1

12a2

(y+a)2+

10

9

(-

3

a≤y≤

3

a)
所以，當(dāng)y=-a時，(

|MC|

|AB|

)max=

10

3

…（13分）

點評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，著重考查等差數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)的降冪公式及兩角和的余弦，難點在于（2）中基本不等式的應(yīng)用及點M的軌跡分析，是一道綜合性強的題目．