Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)）．下列結(jié)論中，正確的是（ ）

A．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)．
B．當(dāng)a=1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)．
C．當(dāng)a＞1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)．
D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P是有限個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)P（x，y），將式子化為關(guān)于x、y、a的式子，化簡(jiǎn)整理可得x²+（y-）²=（a-1），討論a的取值范圍，可得當(dāng)a＞1時(shí)方程表示以點(diǎn)（0，）為圓心，半徑r=的圓，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)，可知只有C項(xiàng)符合題意．
解答：解：以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示
則A（-，0），B（，0），C（0，），設(shè)P（x，y），可得
=x²+（y-）²，=（x+）²+y²，=（x-）²+y²
∵
∴x²+（y-）²+（x+）²+y²+（x-）²+y²=a
化簡(jiǎn)得：3x²+3y²-y+-a=0，即x²+y²-y+-=0
配方，得x²+（y-）²=（a-1）…（1）
當(dāng)a＜1時(shí)，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；
當(dāng)a=1時(shí)，方程（1）的右邊為0，表示點(diǎn)（0，），恰好是正三角形的重心；
當(dāng)a＞1時(shí)，方程（1）的右邊大于0，表示以（0，）為圓心，半徑為的圓
由此對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有C項(xiàng)符合題意
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出正三角形中滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和含有參數(shù)的二次方程的討論等知識(shí)，屬于中檔題．