Question

設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=2x²上，l是AB的垂直平分線(xiàn)．
1）當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂取何值時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；
2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先把拋物線(xiàn)方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)．先看直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，顯然x₁+x₂=0；看直線(xiàn)斜率存在時(shí)設(shè)斜率為k，截距為b，進(jìn)而用A，B的坐標(biāo)表示出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)代入設(shè)的直線(xiàn)方程，及用A，B的坐標(biāo)表示出直線(xiàn)的斜率，聯(lián)立方程可分別求得x₁+x₂和x²₁+x²₂的表達(dá)式進(jìn)而求得b的范圍，判斷即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F．最后綜合可得結(jié)論．
（II）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=2x+b，進(jìn)而可得過(guò)直線(xiàn)AB的方程，代入拋物線(xiàn)方程，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)及b和m的關(guān)系求得b的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線(xiàn)y=2x²，即x²=，∴p=，
∴焦點(diǎn)為F（0，）
（1）直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，顯然有x₁+x₂=0
（2）直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，截距為b
即直線(xiàn)l：y=kx+b由已知得：
⇒⇒
⇒x₁²+x₂²=-+b≥0⇒b≥．
即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F（0，）
所以當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂=0時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F
（II）解：設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=2x+b，
故有過(guò)AB的直線(xiàn)的方程為y=-x+m，代入拋物線(xiàn)方程有2x²+x-m=0，得x₁+x₂=-．
由A、B是拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)，于是上述方程的判別式△=+8m＞0，也就是：m＞-．
由直線(xiàn)AB的中點(diǎn)為（，）=（-，+m），
則+m=-+b，于是：b=+m＞-=．
即得l在y軸上的截距的取值范圍是（，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的應(yīng)用．在解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論直線(xiàn)斜率是否存在的問(wèn)題．