Question

如圖，已知拋物線(xiàn)C₁：x²+by=b²經(jīng)過(guò)橢圓C₂：的兩個(gè)焦點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓C₂的離心率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q（3，6），又M，N為C₁與C₂不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若△QMN的重心在拋物線(xiàn)C₁上，求C₁和C₂的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)C₁經(jīng)過(guò)橢圓C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)F（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
所以c²+b×0=b²，即c²=b²
由a²=b²+c²=2c²
所以橢圓C₂的離心率；
（Ⅱ）由（I）可知a²=2b²，橢圓C₂的方程為
聯(lián)立拋物線(xiàn)C₁的方程x²+by=b²得2y²-by-b²=0
解得或（舍去）
所以
即
所以△QMN的重心坐標(biāo)為（1，0）
因?yàn)橹匦脑贑₁上
所以1²+b×0=b²，得b=1
所以a²=2
所以?huà)佄锞�(xiàn)C₁的方程為x²+y=1，橢圓C₂的方程為。