Question

已知函數(shù)f(x)=

x

1-|x|

，分別給出下面幾個結(jié)論：
①f（x）是奇函數(shù)；②函數(shù) f （x） 的值域為R；③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）； ④函數(shù)g（x）=f（x）+x有三個零點．其中正確結(jié)論的序號有

①②④

．（請將你認為正確的結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

分析：①利用奇函數(shù)的定義進行驗證f(-x)=

-x

1-|-x|

=-f(x)；②當x＞0時，f(x)=

x

1-x

=-1+

1

1-x

，可求其值域，由①知當x＜0時，可求f（x）值域，x=0時，f（x）=0，從而可判斷；③由②知若x₁≠x₂，則不一定有f（x₁）≠f（x₂）；④由③知f（x）的圖象與y=-x有三個交點，故可判斷．

解答：解：①f(-x)=

-x

1-|-x|

=-f(x)∴正確
②當x＞0時，f(x)=

x

1-x

=-1+

1

1-x

∈（0，+∞）∪（-∞，-1）
由①知當x＜0時，f（x）=

x

x+1

∈（1，+∞）∪（-∞，0）
x=0時，f（x）=0
∴函數(shù) f （x） 的值域為R，故正確；
③由②知若x₁≠x₂，則不一定有f（x₁）≠f（x₂），由于x＜0時，f（x）=

x

x+1

，x＞0時，f(x)=

x

1-x

=-1+

1

1-x

，不妨令函數(shù)值為3，則可知x= -

3

2

或x=

3

4

，故不正確
④由③知f（x）的圖象與y=-x有三個交點，原點及第二、四象限各一個，
∴函數(shù)g（x）=f（x）+x有三個零點，故正確．
故答案為：①②④

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確利用函數(shù)，結(jié)合定義求解