Question

6．已知x，y，z為正數(shù)，3^x=4^y=12^z．
（1）若z=1，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值；
（2）證明：5z＜3x＜4y．

Answer 1

分析 （1）由z=1，可得3^x=4^y=12．于是x=$\frac{lg12}{lg3}$，y=$\frac{lg12}{lg4}$．代入$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$即可得出．
（2）設(shè)3^x=4^y=12^z=k＞1，則x=$\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{lg4}$，z=$\frac{lgk}{lg12}$．可得3x=$\frac{3lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，5z=$\frac{5lgk}{lg12}$=$\frac{lgk}{lg\root{5}{12}}$，4y=$\frac{4lgk}{lg4}$=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$．通過(guò)根式的運(yùn)算性質(zhì)可比較$\root{5}{12}$，$\root{3}{3}$，$\sqrt{2}$的大小關(guān)系，即可得出．

解答 （1）解：∵z=1，∴3^x=4^y=12．
∴x=$\frac{lg12}{lg3}$，y=$\frac{lg12}{lg4}$．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lg3}{lg12}+\frac{lg4}{lg12}$=$\frac{lg12}{lg12}$=1．
（2）證明：設(shè)3^x=4^y=12^z=k＞1，
則x=$\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{lg4}$，z=$\frac{lgk}{lg12}$．
∴3x=$\frac{3lgk}{lg3}$=$\frac{lgk}{lg\root{3}{3}}$，5z=$\frac{5lgk}{lg12}$=$\frac{lgk}{lg\root{5}{12}}$，4y=$\frac{4lgk}{lg4}$=$\frac{lgk}{lg\sqrt{2}}$．
∵$\root{5}{12}$=$\root{15}{1{2}^{3}}$，$\root{3}{3}$=$\root{15}{{3}^{5}}$，
∴$\root{5}{12}$＞$\root{3}{3}$，
又lgk＞0，
∴5z＜3x，
同理可得：3x＜4y．
∴5z＜3x＜4y．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)換底公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．