Question

在數(shù)1和2之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個數(shù)的乘積記為A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求數(shù)列{A_n}的前n項和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

Answer 1

分析：（1）設(shè)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列n+2個數(shù)分別為b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2．利用倒序相乘的方法，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)算出An=2

n+2

2

，再由等比數(shù)列定義證出{A_n}是首項為A1=2

2

，公比為

2

的等比數(shù)列，由此不難算出數(shù)列{A_n}的前n項和S_n；
（2）由（1）的結(jié)論，算出an=

n+2

2

，從而得到tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2），根據(jù)兩角差的正切公式結(jié)合配角的方法，證出等式tan(n+1)tan(n+2)=

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1（n∈N^*），由此作為通項代入T_n的表達式，化簡合并后即可得到

T n= tan(n+2)-tan2 tan1 -n

（n∈N^*）．

解答：解：（1）根據(jù)題意，n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，
設(shè)為b₁，b₂，b₃，…，b_n+2，其中b₁=1，b_n+2=2，
可得A_n=b₁•b₂•…•b_n+1•b_n+2，…①；A_n=b_n+2•b_n+1•…•b₂•b₁，…②
由等比數(shù)列的性質(zhì)，得b₁•b_n+2=b₂•b_n+1=b₃•b_n=…=b_n+2•b₁=2，
∴①×②，得

A

2 n

=(b1bn+2)•(b2bn+1)•…•(bn+1b2)•(bn+2b1)=2ⁿ⁺²．
∵A_n＞0，∴An=2

n+2

2

．
因此，可得

An+1

An

=

2 n+3 2

2 n+2 2

=

2

（常數(shù)），
∴數(shù)列{A_n}是首項為A1=2

2

，公比為

2

的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{A_n}的前n項和S_n=

2 2 [1-( 2 )n]

1- 2

=(4+2

2

)[(

2

)n-1]．
（2）由（1）得an=log2An=log22

n+2

2

=

n+2

2

，
∵tan1=tan[(n+1)-1]=

tan(n+1)-tann

1+tan(n+1)tann

，
∴tan(n+1)tann=

tan(n+1)-tann

tan1

-1，n∈N*．
從而tana_2n•tana_2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=

tan(n+2)-tan(n+1)

tan1

-1，n∈N*
∴

Tn=tana2•tana4+tana4•tana6+…+tana2n•tana2n+2

=tan2•tan3+tan3•tan4+…+tan(n+1)tan(n+2)

=( tan3-tan2 tan1 -1)+( tan4-tan3 tan1 -1)+…+( tan(n+2)-tan(n+1) tan1 -1)

= tan(n+2)-tan2 tan1 -n．

即T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2

= tan(n+2)-tan2 tan1 -n

．

點評：本小題主要考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和等基礎(chǔ)知識，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，屬于中檔題．