Question

 

如圖，平面PCMB⊥平面ABC，∠PCB = 90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC = 1，BC = 2PM = 2，∠ACB = 90°．

(1) 求證：AC⊥BM；

(2) 求二面角M－AB－C的大小．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 方法一：

(1) ∵ 平面PCMB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC平面ABC

∴ AC⊥平面PCMB

又∵ BM平面PMBC

∴ AC⊥BM   5分

    (2) 取BC中點N，則CN = 1，連結(jié)AN、MN

∵ 平面PCMB⊥平面ABC，平面PCBM平面ABC = BC，PC⊥BC

∴ PC⊥平面ABC

∵   ∴

∴ MN⊥平面ABC

作NH⊥AB于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理知，AB⊥MH

從而∠MHN為二面角M－AB－C的平面角

∵ 直線AM與直線PC所成的角為60°

∴ ∠AMN = 60°

在△ACN中，由勾股定理得

在Rt△AMN中，

在Rt△BNH中，

在Rt△MNH中，

故二面角M―AB―C的大小為 8分

   方法二：

(1) 同方法一    5分

(2) 如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz

設(shè)P（0，0，Z₀）（Z₀ > 0），有B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，Z₀）

=（–1，1，Z₀），=（0，0，Z₀）

由直線AM與直線PC所成的角為60°，得

即，解得

∴ =（–1，1，），=（–1，2，0）

設(shè)平面MAB的一個法向量為n =（x₁，y₁，z₁）

則，解n =（4，2，）

取平面ABC的一個法向量為m =（0，0，1）

則

故二面角M―AB―C的大小為 8分