Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x∈[0，1）時(shí)f（x）=log_0.5（1-x），則：
①2是函數(shù)f（x）的周期；
②f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，在（2，3）上是減函數(shù)；
③f（x）的最大值是1，最小值是0；
④當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f（x）=log_0.5（x-3）．
其中所有正確命題的序號(hào)是

①④

．

Answer 1

分析：①利用函數(shù)周期性的定義判斷．②利用函數(shù)的周期性，奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系判斷．③利用函數(shù)的單調(diào)性和周期確定函數(shù)的最值．④利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)的解析式．

解答：解：①因?yàn)閒（x+1）=f（x-1），所以f（x+2）=f（x），所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期為2，所以①正確．
②當(dāng)x∈[0，1）時(shí)f（x）=log_0.5（1-x），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤．
③由②知函數(shù)在x=0處取得最小值，在x=1處取得最大值，因?yàn)閒（0=log_0.5（1-0）=0，所以最小值為0．因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為f（1），但f（1）沒(méi)有具體的數(shù)值，所以③錯(cuò)誤．
④若3＜x＜4，則-4＜-x＜-3，所以0＜4-x＜1，所以f（x）=f（-x）=f（4-x）=log?_0.5[1-（4-x）]=log?_0.5（x-3），所以④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，要求熟練掌握函數(shù)的周期性，奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．