Question

命題p：實數(shù)x滿足x²-2（a-2）x-8a＜0；命題q：實數(shù)x滿足

|2x+5|＜7 x+3 x-2 ≥0

（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）若a=1，且p∧q為真，則等價為p，q同時為真命題，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的必要不充分條件，等價為q是p的必要不充分條件，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1 ）若a=1，對于p：x²+2x-8＜，解得-4＜x＜2，
對于q：

|2x+5|＜7 x+3 x-2 ≥0

等價為

-7＜2x+5＜7 x＞2或x≤-3

，即

-6＜x＜1 x＞2或x≤-3

，
解得-6＜x≤-3，
∵p∧q為真，
∴p，q同時為真命題，則

-4＜x＜2 -6＜x≤-3

，
解得-4＜x≤-3，即x∈（-4，-3]．
（2）若￢p是￢q的必要不充分條件，
則q是p的必要不充分條件，
即p⇒q，
∵p：（x-2a）（x+4）＜0，
∴（1）當(dāng)a＞-2時，p：-4＜x＜2a，此時2a≤-3，即a≤-

3

2

；
（2）當(dāng)a=-2時，p：（x+4）²＜0，解集為空集，符合題意；
（3）當(dāng)a＜-2時，p：2a＜x＜-4，此時2a≥-6，即a≥-3；
綜上a的取值范圍是 a∈[-3，≤-

3

2

]．

點評：本題主要考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力．利用不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．