設(shè)F1、F2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是C上的一個動點(diǎn)，且|PF1|+|PF2|=4，C的離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求C方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)F2且斜率存在的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F1C|=|F1D|．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由已知可得橢圓的長軸長，結(jié)合離心率求出c，則b可求，橢圓的方程可求；
（Ⅱ）假設(shè)存在，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立利用跟與系數(shù)求出兩個交點(diǎn)CD的中點(diǎn)，再由|F1C|=|F1D|可知橢圓左焦點(diǎn)在CD的中垂線上，代入坐標(biāo)后得到矛盾式子，所以假設(shè)不成立．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閨PF1|+|PF2|=4，所以a=2，
因?yàn)殡x心率為
1
2
，所以c=1，所以b=
3
，
所以橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l，易知點(diǎn)F2在橢圓的內(nèi)部，
直線l與橢圓一定有兩個交點(diǎn)，設(shè)直線l斜率為k，點(diǎn)C（x1，y1），點(diǎn)D（x2，y2）
直線l的方程為y=k（x-1），由方程組
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-1)
．
得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．
則x1+x2=
8k2
4k2+3
，x0=
x1+x2
2
=
4k2
4k2+3
，
∴y0=k(x0-1)=k(
4k2
4k2+3
-1)=
-3k
4k2+3
．
又|F1D|=|F1C|，所以F1在CD的垂直平分線上，又CD的垂直平分線上方程為y+
3k
4k2+3
=-
1
k
(x-
4k2
4k2+3
)，
所以
3k
4k2+3
=-
1
k
(-1-
4k2
4k2+3
)．
所以5k2+3=0，不成立，所以不存在直線l，使得|F1D|=|F1C|．
綜上所述，不存在直線l，使得|F1D|=|F1C|．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義及方程的求法，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是直線與圓錐曲線的綜合題，解答的關(guān)鍵是把|F1C|=|F1D|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F1過CD的中垂線，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8時，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知⊙F2的半徑是1，過動點(diǎn)Q的作⊙F2切線QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切點(diǎn)），如圖．求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓上一點(diǎn)P(1，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)距離之和等于4．
（Ⅰ）求此橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)F1、F2分別是橢圓C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（I）當(dāng)p∈C，且
pF1
•
pF
2=0，|
pF1
|•|
pF
2|=4時，求橢圓C的左、右焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)．
（II）F1、F2是（I）中的橢圓的左、右焦點(diǎn)，已知⊙F2的半徑是1，過動點(diǎn)Q作的切線QM（M為切點(diǎn)），使得|QF1|=
2
|QM|，求動點(diǎn)Q的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段PF1的垂直平分線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C上的點(diǎn)(
2
2
，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)距離之和等于2
2
，寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（1）中所得橢圓上的焦點(diǎn)F2且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF1的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C 上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPN，kPN試探究kPN•kPN的值是否與點(diǎn)P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

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同步練習(xí)冊答案