Question

已知圓：，點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)．

　　　 （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

　　　 （Ⅱ）設(shè)分別是曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第三象限，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；

　　　 （Ⅲ）過(guò)點(diǎn)，且斜率為的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解: （Ⅰ） 因?yàn)?sub>的垂直平分線交 于點(diǎn)．所以

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓……………2分

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……4分

（Ⅱ） 設(shè)，則     ①

因?yàn)?sub>

則     ②

由①②解得……………7分

所以直線的斜率……………8分

（Ⅲ）直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得:

   得…………9分

由題意知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓必交與兩點(diǎn)，

設(shè)則

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，滿足題設(shè)，則

因?yàn)橐?sub>為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn),

則，即:  （*）

因?yàn)?sub>

則（*）變?yōu)?sub>…………11分

由假設(shè)得對(duì)于任意的,恒成立，

即解得……13分

因此，在軸上存在滿足條件的定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．………………14分