【題目】設橢圓,其長軸長是短軸長的倍,過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)點是橢圓上橫坐標大于的動點,點在軸上,圓內切于,試判斷點在何位置時的長度最小,并證明你的判斷.
【答案】(1);(2)點的橫坐標為時,的長度最小.見解析.
【解析】
(1)根據(jù)條件列方程組,解得;
(2)先設,,根據(jù)點斜式得直線的方程,再根據(jù)直線與圓相切列等量關系得,類似可得,轉化為是方程的兩個根,利用韋達定理解得,根據(jù)點滿足橢圓方程,代入化簡得,最后根據(jù)范圍以及函數(shù)單調性求最值,即得結果.
(1)由已知,
因為過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為,,
解得,故所求橢圓方程為.
(2)設,.
不妨設,則直線的方程為,即,
又圓心到直線的距離為,即,
化簡得同理,,
是方程的兩個根,
,則,
是橢圓上的點,∴,.
令,令,則,
,
當時,取到最小值,此時,即點的橫坐標為時,的長度最小.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,點是橢圓的一個頂點,是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點分別作直線,交橢圓于,兩點,設兩直線的斜率分別為,,且,證明:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與橢圓有一個相同的焦點,過點且與軸不垂直的直線與拋物線交于,兩點,關于軸的對稱點為.
(1)求拋物線的方程;
(2)試問直線是否過定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓:(),左、右焦點分別是、且,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓:,為橢圓上任意一點,過點的直線交橢圓于兩點,射線交橢圓于點
①求的值;
②令,求的面積的最大值.
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