(12分)
如圖,三棱錐P―ABC中, PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點(diǎn),且CD平面PAB.
(Ⅰ) 求證:AB平面PCB;
(Ⅱ)求異面直線AP與BC所成角的大;
(Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
解析:解法一:
(I) ∵PC平面ABC,平面ABC,∴PCAB.
∵CD平面PAB,平面PAB,∴CDAB. …………………………2分
又,∴AB平面PCB. ……………………… 4分
(II) 過點(diǎn)A作AF//BC,且AF=BC,連結(jié)PF,CF.
則為異面直線PA與BC所成的角.………5分
由(Ⅰ)可得AB⊥BC,∴CFAF.
由三垂線定理,得PFAF.
則AF=CF=,PF=,
在中, tan∠PAF==,
∴異面直線PA與BC所成的角為. ……………………………8分
(III)取AP的中點(diǎn)E,連結(jié)CE、DE.
∵PC=AC=2, ∴CE PA,CE=.
∵CD平面PAB, 由三垂線定理的逆定理,得 DEPA.
∴為二面角C-PA-B的平面角. …………………………………10分
由(I) AB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=.
在中,PB=,
.
在中, cos=.
∴二面角C-PA-B大小的余弦值為. …………………………12分
解法二:(I)同解法一. ………4分
(II) 由(I) AB平面PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=.
以B為原點(diǎn),如圖建立坐標(biāo)系.
則A(0,,0),B(0,0,0),
C(,0,0),P(,0,2).
,.…6分
則+0+0=2.
== .
∴異面直線AP與BC所成的角為. …………………………8分
(III)設(shè)平面PAB的法向量為= (x,y,z).
,,
則 即
解得 令= -1, 得 = (,0,-1). …………………10分
設(shè)平面PAC的法向量為=().
,,
則 即
解得 令=1, 得 = (1,1,0).
=.
∴二面角C-PA-B大小的余弦值為. ……………………12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖北省高三下學(xué)期第二次適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖,在三棱柱中,側(cè)面底面,,,且為中點(diǎn).
(I)證明:平面;
(II)求直線與平面所成角的正弦值;
(III)在上是否存在一點(diǎn),使得平面,若不存在,說明理由;若存在,確定點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年山東省高一入學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
((本小題12分)
如圖, 在三棱柱中, 底面,, ,, 點(diǎn)D是的中點(diǎn).
(1) 求證;
(2) 求證平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年河南省商丘市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面,側(cè)棱長(zhǎng)是,D是AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1C∥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A1-BD-A的大小;
(Ⅲ)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010河北省高三押題考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1面ABC,BCAC,BC=AC=2,D為AC的中點(diǎn)。
(1)求證:AB1//面BDC1;
(2)若AA1=3,求二面角C1—BD—C的余弦值;
(3)若在線段AB1上存在點(diǎn)P,使得CP面BDC1,試求AA1的長(zhǎng)及點(diǎn)P的位置。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年山東省高一第一次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題12分)
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥B1C;
(2)求證:AC 1∥平面CDB1.
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