設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),且對于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果實數(shù)m、n滿足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2 的取值范圍是( )
A.(9,49)
B.(13,49)
C.(9,25)
D.(3,7)
【答案】分析:根據(jù)對于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立,不等式可化為f(m2-6m+21)<f(-n2+8n),利用f(x)是定義在R上的增函數(shù),可得(m-3)2+(n-4)2<4,確定(m-3)2+(n-4)2=4內(nèi)的點到原點距離的取值范圍,利用m2+n2 表示(m-3)2+(n-4)2=4內(nèi)的點到原點距離的平方,即可求得m2+n2 的取值范圍.
解答:解:∵對于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立
∴f(-x)=-f(x)
∵f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,
∴f(m2-6m+21)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n),
∵f(x)是定義在R上的增函數(shù),
∴m2-6m+21<-n2+8n
∴(m-3)2+(n-4)2<4
∵(m-3)2+(n-4)2=4的圓心坐標(biāo)為:(3,4),半徑為2
∴(m-3)2+(n-4)2=4內(nèi)的點到原點距離的取值范圍為(5-2,5+2),即(3,7)
∵m2+n2 表示(m-3)2+(n-4)2=4內(nèi)的點到原點距離的平方
∴m2+n2 的取值范圍是(9,49).
故選A.
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,考查不等式的含義,解題的關(guān)鍵是確定圓內(nèi)的點到原點距離的取值范圍.