設(shè)函數(shù)f(x)=,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若方程f(x)=0在(0,2)內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在[t,t+2](t∈(-3,-2))上的最大值為H(t),最小值為h(t),記g(t)=H(t)-h(t),求函數(shù)g(t)的最小值.
【答案】分析:(1)求導(dǎo)數(shù),分別令導(dǎo)數(shù)大于0,小于0,可得單調(diào)區(qū)間;
(2)由函數(shù)的單調(diào)性可知原問(wèn)題等價(jià)于f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,解之可得;(3)由單調(diào)性和t的范圍可得函數(shù)最大值H(t)=f(-1)=,最小值h(t)為f(t)與f(t+3)中的較小者,比較可得最小值g(-2)=,可得答案.
解答:解:(1)由題意可得f′(x)=x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1),(a>0)
令f′(x)>0可得x<-a,或x>1,令f′(x)<0可得-a<x<1,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-a,1);
(2)由(1)知f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,(1,2)單調(diào)遞增,
方程f(x)=0在(0,2)內(nèi)恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,
解得0<a<,所以a的取值范圍為(0,
(3)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=,由(1)知f(x)在(-3,-1)單調(diào)遞增,
在(-1,1)單調(diào)遞減,所以,當(dāng)t∈[-3,-2]時(shí),t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],
所以函數(shù)f(x)在[t,-1]上單調(diào)遞增,[-t,t+3]上單調(diào)遞減,
故函數(shù)f(x)在[t,t+3]上的最大值H(t)=f(-1)=,
而最小值h(t)為f(t)與f(t+3)中的較小者,
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,當(dāng)t∈[-3,-2]時(shí),f(t)≤f(t+3),故h(t)=f(t)
所以g(t)=f(-)-f(t),而f(t)在[-3,-2]上單調(diào)遞增,因此f(t)≤f(-2)=,
所以g(t)在[-3,-2]上的最小值g(-2)==
即函數(shù)f(x)在[-3,-2]上的最小值為
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)的單調(diào)性和最值,屬中檔題.
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