Question

已知a∈R，f（x）=x²+ax+a+1，g（x）=e^x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若h（a）是f（x）的最小值，求出h（a）的最大值；
（3）討論函數(shù)F（x）=f（x）g（x）極點(diǎn)值的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）=0，比較f′（x）與0的大小關(guān)系即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）配方即可得到h（a）是一個(gè)關(guān)于a的二次函數(shù)，其圖象是一個(gè)開口向下的拋物線，再配方即可；
（3）先求出f′（x）=0時(shí)得到方程，討論△的取值決定方程解的個(gè)數(shù)，從而得到函數(shù)極值的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）令f′（x）=2x+a=0，則x=-

a

2

．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-

a

2

，+∞)；
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-

a

2

]．
（2）由f（x）=x²+ax+a+1=(x+

a

2

)2+a+1-

a2

4

知
h（a）=a+1-

a2

4

=1-[(

a

2

)2-a]=1-[(

a

2

-1)2-1]=2-(

a

2

-1)2，
故h（a）的最大值為2．
（3）．f′（x）=e^x（x²+ax+a+1）+e^x（2x+a）
=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]，
令f′（x）=0得x²+（a+2）x+（2a+1）=0，分三種情況討論：
（a）當(dāng)△=（a+2）²-4（2a+1）=a²-4a=a（a-4）＞0．
即a＜0或a＞4時(shí)，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
于是f′（x）=e^x（x-x₁）（x-x₂），故有下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	f（x1）為極大值	↓	f（x2）為極小值	↑

即此時(shí)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（b）當(dāng)△=0即a=0或a=4時(shí)，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有兩個(gè)相同的實(shí)根x₁=x₂
于是f′（x）=e^x（x-x₁）²
故當(dāng)x＜x₁時(shí)，f′（x）；當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0，因此f（x）無(wú)極值．
（c）當(dāng)△＜0，即0＜a＜4時(shí)，x²+（a+2）x+（2a+1）＞0，
f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]＞0，故f（x）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）無(wú)極值．
因此當(dāng)a＞4或a＜0時(shí)，f（x）有2個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)a＜0或a＞4時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力．