Question

在1，2，3，…9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)．
（1）求這3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)的概率；
（2）求這3個(gè)數(shù)和為18的概率；
（3）設(shè)ξ為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)ξ的值是2）．求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件數(shù)C₉³，滿足條件的事件3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)，包含三種情況一個(gè)偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)，三個(gè)偶數(shù)，寫出每種情況的組合數(shù)，求出概率．
（2）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件數(shù)C₉³，，考慮三數(shù)由大到小排列后的中間數(shù)只有可能為5、6、7、8，分別為459，567，468，369，279，378，189七種情況，求出概率．
（3）ξ為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出變量的概率，寫出分布列，利用期望公式做出期望值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生所包含的事件數(shù)C₉³，
滿足條件的事件3個(gè)數(shù)中至少有1個(gè)是偶數(shù)，包含三種情況一個(gè)偶數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)，三個(gè)偶數(shù)，
這三種情況是互斥的，根據(jù)等可能和互斥事件的概率公式得到
P(A)=

C 1 4 C 2 5 + C 2 4 C 1 5 + C 3 4 C 0 5

C 3 9

=

37

42

；
（2）記“這3個(gè)數(shù)之和為18”為事件B，
考慮三數(shù)由大到小排列后的中間數(shù)只有可能為5、6、7、8，
分別為459，567，468，369，279，378，189七種情況，
∴P(B)=

7

C 3 9

=

1

12

；
（3）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，
P（ξ=0）=

5

12

P（ξ=1）=

6

12

P（ξ=2）=

1

12

∴ξ的分布列為

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一個(gè)數(shù)字問(wèn)題，這是一個(gè)比較典型的概率問(wèn)題，注意做到不重不漏．