Question

已知曲線(xiàn)C：xy=1，過(guò)C上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作一斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1），點(diǎn)列A_n（n=1，2，3，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，其中．
（1）求x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（2）求證：{}是等比數(shù)列；
（3）求證：（﹣1）+（﹣1）²x₂+（﹣1）³x₃+…+（﹣1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

Answer 1

解：（1）過(guò)C：上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線(xiàn)交C于另一點(diǎn)A_n+1，
則，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：．
（2）記，
則，
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 241px; HEIGHT: 40px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120922/201209222141313343501.png">，
因此數(shù)列{}是等比數(shù)列．
（3）由（2）知：，．
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有：（﹣1）^n﹣1 x_n﹣1+（﹣1）ⁿx_n=，
于是在n為偶數(shù)時(shí)有：．
②在n為奇數(shù)時(shí)，前n﹣1項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，
于是有：（﹣1）+（﹣1）²x₂++（﹣1）^n﹣1x_n﹣1+（﹣1）ⁿx_n
．
綜合①②可知原不等式得證．