Question

  如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點。

（Ⅰ）求r的取值范圍

（Ⅱ）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標。

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）

拋物線與圓相交于、、、四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根

∴即。解這個方程組得

.

（II）  設四個交點的坐標分別為、、、。

則由（I）根據韋達定理有，

則

 

令，則     下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

     

    當且僅當，即時取最大值。經檢驗此時滿足題意。

法2：設四個交點的坐標分別為、、、

則直線AC、BD的方程分別為

解得點P的坐標為。

設，由及（Ⅰ）得   

由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積

則將，代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或（舍去）

當時，；當時；當時，

故當且僅當時，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為。