已知f(x)是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝1，當(dāng)x是偶數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5．

（1）求證：f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差數(shù)列；

（2）求f(n)的表達(dá)式．

 

答案：
解析：

解：（1）∵當(dāng)x是奇數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝1，                                                  ①   

此時，x＋1是偶數(shù)，由題意，f(x＋2)－f(x＋1)＝3，                                 ②

①＋②，得f(x＋2)－f(x)＝4．

∴f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)構(gòu)成以4為公差的等差數(shù)列．

（2）當(dāng)x是偶數(shù)時，x＋1是奇數(shù)，

∴f(x＋1)－f(x)＝3，f(x＋2)－f(x＋1)＝1．

∴f(x＋2)－f(x)＝4．

∴數(shù)列f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2n)構(gòu)成以4為公差的等差數(shù)列．

令x＝1，得f(2)－f(1)＝1，又f(2)＋f(1)＝5，

∴f(2)＝3，f(1)＝2，

∴當(dāng)n為奇數(shù)時，．

當(dāng)n為偶數(shù)時，．

∴

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列結(jié)論中正確的是
①②③
①②③
．
①函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
②已知ξ～N（16，σ2），若P（ξ＞17）=0.35，則P（15＜ξ＜16）=0.15；
③
已知f(x)是定義在(-∞，+∞)上的偶函數(shù)，且在(-∞，0]上是增函數(shù)．設(shè)a=f(ln
1
3
)，b=f(log43)，
c=f(0.4-1.2)，則c＜a＜b；

④線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，表明兩個變量線性相關(guān)程度越弱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),它的反函數(shù)為f-1(x),若y=f-1(x+1)與y=f(x+1)互為反函數(shù),且f(1)=1,則f(2)的值為

A.2                  B.1                   C.0                   D.-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a,b∈R,滿足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N*),b=(n∈N*);考查下列結(jié)論：

①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數(shù)；③數(shù)列{a}為等比數(shù)列；④{b}為等差數(shù)列.

其中正確的是               .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆廣東省高一第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知f(x)是定義在( 0，＋∞)上的增函數(shù)，

且f() = f(x)－f(y)  

（1）求f(1)的值;

（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年黑龍江省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

已知f (x)是定義在∪上的奇函數(shù)，當(dāng)時，f (x)的圖象如圖所示，那么f (x)的值域是                   

 

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