Question

已知n是不小于3的正整數(shù)，，．
（1）求a_n，b_n；
（2）設(shè)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于a_n，b_n是以和式出現(xiàn)，而且與組合數(shù)有關(guān)，借助于kC_n^k=nC_n-1^k-1，可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，∴，從而利用裂項(xiàng)求和法求和，故可證．
解答：解：（1），
因?yàn)閗C_n^k=nC_n-1^k-1，所以a_n=nC_n-1+nC_n-1¹+…+nC_n-1^n-1=n（C_n-1+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1．…3分
因?yàn)閗²C_n^k=k•kC_n^k=k•nC_n-1^k-1，而kC_n-1^k-1=（k-1）C_n-1^k-1+C_n-1^k-1=（n-1）C_n-2^k-2+C_n-1^k-1（k≥2），
所以，
=n（n-1）•2^n-2+n•2^n-1=n（n+1）•2^n-2．
（2），
所以．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求解及裂項(xiàng)求和法，同時(shí)考查了組合數(shù)的性質(zhì)，有一定的綜合性．