Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，定點(diǎn)A（1，3），點(diǎn)P在雙曲線的右支上運(yùn)動，則|PF₁|+|PA|的最小值等于

11

．

Answer 1

分析：依題意，可求得F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），P在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=6，可求得|PF₁|=|PF₂|+6，從而可求得|PF₁|+|PA|的最小值．

解答：解：∵P在雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=6，
∴|PF₁|=|PF₂|+6，又A（1，3），雙曲線右焦點(diǎn)F₂（5，0），
∴|PF₁|+|PA|
=|PF₂|+6+|PA|
≥|AF₂|+6
=

(5-1)2+(0-3)2

+6
=5+6
=11（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F₂三點(diǎn)共線時取“=”）．
故答案為：11．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，利用雙曲線的定義將|PF₁|轉(zhuǎn)化為|PF₂|+6是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與應(yīng)用不等式的能力，屬于中檔題．