Question

設(shè)函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+ax2-2ax-2（a為常數(shù)），且f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取得最大值時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x²-7x-m有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）依題意得：f'（x）=-x²+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減
∴f'（x）=-x²+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立
即：當(dāng)x=1時(shí)，a∈R當(dāng)x≠1時(shí)，2a≤

x2

x-1

在（1，2]恒成立
記g(x)=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2則g_min（x）=4
∴只須a≤2
綜上，a≤2
（2）當(dāng)a=2時(shí)，方程f（x）=x²-7x-m有3個(gè)不同根等價(jià)于

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3個(gè)不同根
記g(x)=

x3

3

-x2-3x+2-m則g'（x）=x²-2x-3
令g'（x）＞0得x＜-1或x＞3令g'（x）＜0得-1＜x＜3
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）遞增，在（-1，3）遞減
∴g_極小（x）=g（3）=-7-mg極大(x)=g(-1)=

11

3

-m
要使

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3個(gè)不同根
只須

g極小(x)=g(3)=-7-m＜0 g極大(x)=g(-1)= 11 3 -m＞0

得-7＜m＜

11

3