已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

（1）若k＞0且函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+
3
4
）上存在極值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍
（2）如果存在x∈[2，+∞），使得不等式f(x)≤
a
x+2
成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）由f′(x)=
-lnx
x2
=0，得x=1，再由
k＜1
k＞0
k+
3
4
＞0
，能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）a≥
(x+2)(1+lnx)
x
=（1+
2
x
）（1+lnx），設(shè)g（x）=（1+
2
x
）（1+lnx），則g′(x)=
x-2lnx
x2
，再設(shè)h（x）=x-2lnx，則h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，坆g′（x）＞0，g（x）增．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
，
∴f′(x)=
1+lnx
x
，
由f′(x)=
-lnx
x2
=0，得x=1，
由條件
k＜1
k＞0
k+
3
4
＞1
，
解得
1
4
＜k＜1．
（2）∵a≥
(x+2)(1+lnx)
x

=（1+
2
x
）（1+lnx），
設(shè)g（x）=（1+
2
x
）（1+lnx），
g′(x)=
x-2lnx
x2
，
再設(shè)h（x）=x-2lnx，h′(x)=1-
2
x
≥0，
∴h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）增．
∴g（x）≥g（2）=2（1+ln2），
∴a≥2+2ln2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查論證推理能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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