Question

證明當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，2a-aln4a²≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f（x）=2x-xln（4x²），x∈（0，+∞）．則f′（x）=2-ln（4x²）-2=-ln（4x²）．可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性最大值，進(jìn)而證明結(jié)論．

解答： 證明：令f（x）=2x-xln（4x²），x∈（0，+∞）．
則f′（x）=2-ln（4x²）-2=-ln（4x²）．
令f′（x）=0，解得x=

1

2

當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，f(

1

2

)=1-

1

2

ln1=1．
∴當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，2a-aln4a²≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值證明不等式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．