Question

已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），若直線y=k（x-2）上至少存在三個(gè)點(diǎn)P，使得△MNP是直角三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  1

  3

  ，0）∪（0，

  1

  3

  ]
• B、[-

  3

  3

  ，0）∪（0，

  3

  3

  ]
• C、[-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ]
• D、[-5，5]

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系

專題：直線與圓

分析：當(dāng)k=0時(shí)，M、N、P三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，故k≠0．△MNP是直角三角形，由直徑對(duì)的圓周角是直角，知直線和以MN為直徑的圓有公共點(diǎn)即可，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)k=0時(shí)，M、N、P三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，
∴k≠0，
如圖所示，△MNP是直角三角形，有三種情況：
當(dāng)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，直線上有唯一點(diǎn)P₁點(diǎn)滿足條件；
當(dāng)N是直角頂點(diǎn)時(shí)，直線上有唯一點(diǎn)P₃滿足條件；
當(dāng)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)至少有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件．
由直徑對(duì)的圓周角是直角，知直線和以MN為直徑的圓有公共點(diǎn)即可，
則

|2k|

k2+1

≤1，解得-

3

3

≤k≤

3

3

，且k≠0．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-

3

3

，0）∪（0，

3

3

]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查運(yùn)用方程思想求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用．