Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，S₄=2S₂+4，，
（1）求公差d的值；
（2）若對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范圍
（3）若，判別方程S_n+T_n=2009是否有解？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S₄=2S₂+4，知，由此能求出公差d的值；
（2）解法1：由a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1，知，再由對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，知，由此能求出a₁的取值范圍．
解法2：由于等差數(shù)列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，必須有，由此能求出a₁的取值范圍．
（3）由于等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，，，，所以方程S_n+T_n=2009轉(zhuǎn)化為：，由此推導(dǎo)出方程S_n+T_n=2009無(wú)解．
解答：解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴（2分）
解得d=1（4分）
（2）解法1：a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1（1分）

∵對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，∴（4分）
∴-8≤a₁≤-7
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]（5分）
解法2：由于等差數(shù)列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，
必須有（1分）

求得-8≤a₁≤-7（4分）
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]（5分）

（3）由于等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足，（1分）
（2分）
（3分）
則方程S_n+T_n=2009轉(zhuǎn)化為：（3分）
令：，
由于
所以f（n）單調(diào)遞增（4分）
當(dāng)1≤n≤63時(shí)，（5分）
當(dāng)n≥64時(shí)，（6分）
綜合：方程S_n+T_n=2009無(wú)解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì) 和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，通過(guò)一題多解不斷提高解題能力．