Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0），判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)．
①求{a_n}的通項(xiàng)公式；
②當(dāng)a＞1時(shí)，不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

（log_a+1x-log_ax+1）對(duì)不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列遞推式

專題：壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令x=-1，y=0，結(jié)合f（-1）＞1，可求f（0）；利用單調(diào)性的定義，可以證明f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）①由f（x）單調(diào)性，可得a_n+1=a_n+2，故{a_n}等差數(shù)列，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
②求出左邊的最小值，可得

12

35

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)，即log_a+1x-log_ax+1＜1，從而可求x的取值范圍．

解答： 解：（1）由x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），且x＜0時(shí)，f（x）＞1，
令x=-1，y=0，∴f（-1）=f（-1）f（0），
∵f（-1）＞1，
∴f（0）=1；
若x＞0，則f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
∴f(x)=

1

f(-x)

∈(0，1)；
∴x∈R時(shí)，f（x）＞0，
任取x₁＜x₂，f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）＜f（x₁）；
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
（2）①a1=f(0)=1，f(an+1)=

1

f(-2-an)

=f(2+an)，
由f（x）單調(diào)性，可得a_n+1=a_n+2，
故{a_n}等差數(shù)列，∴a_n=2n-1，
②bn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

，則bn+1=

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+2

，
bn+1-bn=

1

a2n+1

+

1

a2n+2

-

1

an+1

=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，{bn}是遞增數(shù)列；
當(dāng)n≥2時(shí)，{bn}min=b2=

1

a3

+

1

a4

=

1

5

+

1

7

=

12

35

，
∴

12

35

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)，
即log_a+1x-log_ax+1＜1，
∴l(xiāng)og_a+1x＜log_ax，
而a＞1，∴x＞1，
故x的取值范圍（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．