Question

已知圓C：，圓D的圓心D在y軸上，且與圓C外切，圓D與y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為(－3，0)．

(Ⅰ)若點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，3)，求∠APB的正切值；

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan∠APB的最大值；

(Ⅲ)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，當(dāng)圓D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠AQB是定值？如果存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵|CD|＝＝5，且圓D與外切(O為原點(diǎn))． 　　∴圓D半徑r＝5－2＝3　此時(shí)，A、B坐標(biāo)分別為(0，0)、(0，6) 　　PA在x軸上，PB斜率k＝2　　∴tan∠APB＝2． 　　(Ⅱ)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)圓D半徑為r，則　　 ① 　　A、B坐標(biāo)分別為(0，a－r)，(0，a＋r)． 　　設(shè)PA、PB斜率分別為，則 　　 　　 ② 　　由①解出代入②，得，而8r－6為單調(diào)增函數(shù)，r∈[2，＋∞)． 　　∴tan∠APB∈(]　　tan∠APB的最大值為； 　　(Ⅲ)假設(shè)存在Q點(diǎn)，設(shè)(Q)(b，0)，QA、QB斜率分別為，則 　　 　　tan∠AQB＝ 　　將代入上式，得 　　 　　欲使∠AQB大小與r無(wú)關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)， 此時(shí) 　　∴存在Q點(diǎn)，當(dāng)圓D變動(dòng)時(shí)，∠AQB為定值