Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁、F₂為左右焦點，A為右頂點，l為左準線，過F₁的直線l′：x=my-c與橢圓相交于P、Q兩點，且有：

AP

•

AQ

=

1

2

（a+c）²．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若e∈（

1

2

，

2

3

），求m的取值范圍；
（3）若AP∩l=M，AQ∩l=N，求證：M、N點的縱坐標之積為定值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用方程方法求解，聯立方程組．
（2）即

1

2

＜

-2+ m4-m2+2

m2-2

＜

2

3

，3m⁴-6m²+7＞0且

7

5

＜m²＜2，
（3）求出坐標，再求積化簡_m=

(a2+ac)•s

ac+c2mcs

.

(c2+ac)•h

ac+c2-mch

=

(a2+ac)2(-b4)

(c2+ac)2•a2

=-

b4

c2

，

解答： 解：（1）設P（ms-c，s），P（mh-c，h），由P、Q在橢圓上，即s、h是方程，

(my-c)2

a2

+

y2

b2

=1的兩根，
由韋達定理得 s+h=

2mcb2

m2b2+a2

，sh=-

b4

m2b2+a2

AP

=（ms-a-c，s），

AQ

=（mh-a-c，h），

AP

•

AQ

=（ms-a-c，s）•（mh-a-c，h）=（ms-a-c）（mh-a-c）+sh=

(a+c)2

2

，
即sh（m²+1）-（a+c）•（s+h）+

1

2

（a+c）²=0，聯立消去s、h，并整理得：（e+1）²．[（m²-2）e²+4e-（m²+1）]=0，
解得橢圓C的離心率 e=

-2+ m4-m2+2

m2-2

，
（2））若e∈（

1

2

，

2

3

），即

1

2

＜

-2+ m4-m2+2

m2-2

＜

2

3

，3m⁴-6m²+7＞0且

7

5

＜m²＜2，
m的取值范圍：-

2

＜m＜-

35

5

或：

35

5

＜m＜

2

．
（3）若 AP∩l=M，AQ∩l=N，左準線l的方程為 x=-

a2

c

，
直線AP的參數方程為 sx-（ms-a-c）y-sa=0，求得M的縱坐標y_m=

(a2+ac)•s

ac+c2mcs

，同理得N的縱坐標為

(c2+ac)•h

ac+c2-mch

，
化簡_m=

(a2+ac)•s

ac+c2mcs

.

(c2+ac)•h

ac+c2-mch

=

(a2+ac)2(-b4)

(c2+ac)2•a2

=-

b4

c2

，
所以M、N點的縱坐標之積為定值：-

b4

c2

，

點評：本題綜合考查了橢圓的幾何性質，結合方程的思想解決，化簡運算較麻煩．