Question

5．已知拋物線C的頂點在坐標原點O，對稱軸為x軸，焦點為F，拋物線上一點A的橫坐標為2，且|AF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點M（8，0）作直線l交拋物線于B，C兩點，求證：OB⊥OC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）法一：因為直線當l的斜率不為0，設(shè)直線當l的方程為x=ky+8，與拋物線方程聯(lián)立，利用向量知識求解即可；
法二：①當l的斜率不存在時，l的方程為x=8，當l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-8），與拋物線方程聯(lián)立，利用向量知識求解即可．

解答 （1）解：設(shè)拋物線方程為C：y²=2px（p＞0），
由其定義知|AF|=4=2+$\frac{p}{2}$，
所以p=4，y²=8x；
（2）證明：法一：設(shè)B、C兩點坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
因為直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=ky+8，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ x=ky+8\end{array}\right.$得y²-8ky-64=0，y₁+y₂=8k，y₁y₂=-64，
因為$\overrightarrow{OB}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{OC}=（{x_2}，{y_2}）$，
所以$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（k{y_1}+8）（k{y_2}+8）+{y_1}{y_2}$=（k²+1）y₁y₂+8ky（y₁+y₂）+64=0
所以O(shè)B⊥OC．
法二：①當l的斜率不存在時，l的方程為x=8，此時B（8，8），C（8，-8），
即$\overrightarrow{OB}=（8，8），\overrightarrow{OC}=（8，-8）$，有$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=64-64=0$，所以O(shè)B⊥OC．
②當l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-8），
方程組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（x-8）\end{array}\right.$得k²x²-（16k²+8）x-64k²=0，ky²-8y-64k=0，所以x₁x₂=64，y₁y₂=-64，
因為$\overrightarrow{OB}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{OC}=（{x_2}，{y_2}）$，所以$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=64-64=0$，
所以O(shè)B⊥OC，由①②得OB⊥OC．

點評 本題考查拋物線的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，正確設(shè)出直線方程是關(guān)鍵．