Question

設函數(shù)f（x）=x²-2|x|-3（-3≤x≤3），
（1）證明函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）用分段函數(shù)表示f（x）并作出其圖象；
（3）指出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間及相應的單調性；
（4）求函數(shù)的值域．

Answer 1

解：（1）∵-3≤x≤3，
∴函數(shù)的定義域關于原點對稱，
又∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x）
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）f（x）=；
（3）由（2）中圖象可得：
函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是[-1，0]，[1，3]；
函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是[-3，-1]，[0，1]．
（4）由（2）中圖象可得：
函數(shù)的值域是[-4，0]．
分析：（1）根據函數(shù)奇偶性的定義，我們先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，然后再判斷f（-x）與f（x）的關系，若f（-x）與f（x）相等則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）由于函數(shù)的解析式中，含有絕對值符合，我們可以用零點分段法，即分0≤x≤3主-3≤x＜0兩種情況，進行分類討論，易得函數(shù)的解析式，然后根據分段函數(shù)的圖象分段畫的原則，易得到函數(shù)的圖象．
（3）由函數(shù)圖象，根據圖象上升，函數(shù)遞增，圖象下降，函數(shù)遞減的原則，確定函數(shù)的單調區(qū)間；
（4）由函數(shù)圖象，易得到函數(shù)最高點，最低點坐標，進而得到函數(shù)的值域．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調性及單調區(qū)間，及函數(shù)的奇偶性的判斷，利用零點分段法將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象是解答本題的關鍵．