Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠ABC=90°，D為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，將△ABD沿BD折起，折起后∠AEF=θ．
（1）求證：平面AEF⊥平面BCD；
（2）cosθ為何值時(shí)，AB⊥CD？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折起前后沒有發(fā)生變化的幾何量尋找線線垂直，從而證明線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直；
（2）構(gòu)造一個(gè)過(guò)直線AB且與直線CD垂直的平面，根據(jù)幾何量的關(guān)系求出cosθ的值．
解答：證明：（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，D為AC的中點(diǎn)，則△ABD是等邊三角形．
又E是BD的中點(diǎn)，
故BD⊥AE，BD⊥EF．
折起后，AE∩EF=E，
所以BD⊥平面AEF，而BD?平面BCD，
所以平面AEF⊥平面BCD；
（2）如圖所示，
過(guò)A作AP⊥平面BCD于P，則P在FE的延長(zhǎng)線上．
設(shè)BP與CD的延長(zhǎng)線相交于Q，令A(yù)B=1，則△ABD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．
若AB⊥CD，又AP⊥CD，AB∩AP=A，則CD⊥平面ABP，于是有BQ⊥CD．
在Rt△CBQ中，∠C=30°，故∠CBQ=60°，又∠CBD=30°，故∠EBP=30°．
在Rt△EBP中，PE=BE×tan30°=×=．
又AE=，故cosAEP===，
折起后有cosθ=cos（π-∠AEP）=-，
故當(dāng)cosθ=-時(shí)，AB⊥CD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查推理證明與計(jì)算能力，屬于中檔題．