Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．若A，B分別是x軸正半軸及y軸正半軸上的點(diǎn)，使得PA⊥PB，則△OAB面積的最大值為

25

16

．

Answer 1

分析：由兩直線垂直的性質(zhì)可得

1-0

2-a

×

b-1

0-2

=-1，化簡(jiǎn)可得 2a+b=5≥2

2ab

，可得ab 的最大值，從而求得△OAB面積

1

2

ab 的最大值．

解答：解：設(shè)A （a，0 ）、B（ 0，b），且a＞0，b＞0．
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），PA⊥PB，
∴

1-0

2-a

×

b-1

0-2

=-1，
化簡(jiǎn)可得 2a+b=5≥2

2ab

，
∴ab≤

25

8

，當(dāng)且僅當(dāng) 2a=b=

5

2

 時(shí)，等號(hào)成立．
故△OAB面積

1

2

ab 的最大值為

1

2

×

25

8

=

25

16

，
故答案為

25

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直斜率之積等于-1，以及基本不等式的應(yīng)用，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，屬于中檔題．