Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：bn=

n

2an-2n

（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）比較S_n與

3n

2n+1

的大�。�

Answer 1

（1）證法一：由a_n+1=2a_n-n+1，
得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁=2，則a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-n}是以a₁-1=1為首項(xiàng)，且公比為2的等比數(shù)列，…（3分）
則an-n=1×2n-1，
∴an=2n-1+n．…（4分）
證法二：

an+1-(n+1)

an-n

=

2an-n+1-(n+1)

an-n

=

2an-2n

an-n

=2，
又a₁=2，則a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-n}是以a₁-1=1為首項(xiàng)，且公比為2的等比數(shù)列，…（3分）
則an-n=1×2n-1，∴an=2n-1+n．…（4分）
（2）∵bn=

n

2an-2n

，
∴bn=

n

2an-2n

=

n

2n

．…（5分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，…①
∴

1

2

Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，…②
由①-②，得

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)2-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
=1-(n+2)(

1

2

)n+1，…（8分）
∴Sn=2-(n+2)•(

1

2

)n．…（9分）
（3）Sn-

3n

2n+1

=2-（n+2）•(

1

2

)n-

3n

2n+1

=

n+2

2n+1

-(n+2)•(

1

2

)n
=

(n+2)•[2n-(2n+1)]

(2n+1)•2n

，
當(dāng)n=1時(shí)，Sn＜

3n

2n+1

；
n=2時(shí)，Sn＜

3n

2n+1

；
n≥3時(shí)，2n=

C

0n

+

C

1n

+…+

C

n-1n

+

C

nn

＞

C

0n

+

C

1n

+

C

n-1n

=2n+1，
∴Sn-

3n

2n+1

＞0，
∴Sn＞

3n

2n+1

．
綜上：n=1或2時(shí)，Sn＜

3n

2n+1

；
n≥3時(shí)，Sn＞

3n

2n+1

．…（12分）