Question

設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e=，以F₁為圓心，|F₁F₂|為半徑的圓與直線x-y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點(diǎn)S（0，-）且斜率為k的直線交橢圓C于點(diǎn)A，B，證明無論k取何值，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)D（0，1）．

Answer 1

解：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則由已知得，
解得c=1．
∵，∴，∴b²=1，
∴橢圓C的方程為．
（II）由已知直線AB：，代入，得，
整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，
∵，
∴
=（1+k²）=0，∴．∴以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)D（0，1）．
分析：（I）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則由已知得，得c=1．再由能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（II）由已知直線AB：，代入，得，整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理選用．