Question

如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在平面ABCD垂直，已知BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥面ABF；
（Ⅱ）求異面直線BE與AF所成的角；
（Ⅲ） 求該幾何體的表面積．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)槊鍭DEF⊥面ABCD，AF⊥交線AD，AF?面ADEF，所以AF⊥面ABCD由此能夠證明AC⊥面ABF．
（2）由（1）得AF，AB，AC兩兩互相垂直，故可以以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則

AC

=(0，2

3

，0)，

BE

=(-3，

3

，2)，

AF

=(0，0，2)，由向量法能求出異面直線BE與AC所成的角的余弦值．
（3）由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，所以△ABF的面積S1=

1

2

|AF|•|AB|=2．同理△CDE的面積S₂=2，等腰梯形BCEF的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2

2

，則它的高為

7

，等腰梯形ABCD的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，它的高為

3

，由此能求出該幾何體的表面積．

解答：（1）證明：因?yàn)槊鍭DEF⊥面ABCD，AF⊥交線AD，AF?面ADEF，
所以AF⊥面ABCD．（2分）
故  AF⊥AC，又  BF⊥AC，AF∩BF=F．
所以AC⊥面ABF．…（4分）
（2）解：由（1）得AF，AB，AC兩兩互相垂直，
故可以以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
∵BC=2AD=4，∠ABC=60°，BF⊥AC．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2

3

，0)，E(-1，

3

，2)，F(xiàn)（0，0，2）．…（6分）

AC

=(0，2

3

，0)，

BE

=(-3，

3

，2)，

AF

=(0，0，2)，
cos＜

AF

，

BE

＞=

AF • BE

| AF |•| BE |

=

4

2×4

=

1

2

．
即異面直線BE與AF所成的角的余弦值為

1

2

．…（8分）
（3）解：由（1）知AF⊥面ABCD，所以AF⊥AB，又AB=BCcos60°=2，
所以△ABF的面積S1=

1

2

|AF|•|AB|=2．…（9分）
同理△CDE的面積S₂=2，等腰梯形BCEF的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2

2

，則它的高為

7

，
所以其面積S3=

1

2

×(2+4)×

7

=3

7

．…（10分）
等腰梯形ABCD的上底長為2，下底長為4，兩腰長均為2，
則它的高為

3

，
所以其面積S4=

1

2

×(2+4)×

3

=3

3

．…（11分）
故該幾何體的表面積S=S1+S2+S3+S4+4=3

3

+3

7

+8．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查AC⊥面ABF的證明，求異面直線BE與AF所成的角，求該幾何體的表面積．解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地化空間幾何問題為平面幾何問題，注意向量法的靈活運(yùn)用．