【題目】在如圖所示的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,面AA1B1B和面AA1C1C都是邊長為1的正方形且互相垂直,D為AA1的中點(diǎn),E為BC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:DE∥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求平面C1BD和平面CBD所成的角(銳角)的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:如圖,過E作EF∥BC交BC于F,
∵E為BC1的中點(diǎn),∴EF為△BB1C1的中位線,則EF= ,
又D為AA1中點(diǎn),∴D ,
∵四邊形AA1B1B為正方形,∴EF∥DA1,且EF=DA1,
∴四邊形DA1FE為平行四邊形,則DE∥A1F,
∵DE平面A1B1C1,A1F平面A1B1C1,
∴DE∥平面A1B1C1;
(Ⅱ)解:∵AA1C1C是正方形,∴AC⊥AA1,
又平面AA1B1B⊥平面AA1C1C,且平面AA1B1B⊥平面AA1C1C,
∴AC⊥平面AA1B1B,則AC⊥BC.
分別以BA、AD、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(0,0,1),D(0, ,0),B(﹣1,0,0),C1(0,1,1),
, , .
設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為 ,
由 ,令y=2,得 ;
設(shè)平面C1BD的一個(gè)法向量為 ,
由 ,令y=2,得 .
∴cos< >= .
∴平面C1BD和平面CBD所成的角(銳角)的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)過E作EF∥BC交BC于F,可得EF為△BB1C1的中位線,結(jié)合已知可得EF∥DA1,且EF=DA1,則四邊形DA1FE為平行四邊形,得DE∥A1F,由線面平行的判定可得DE∥平面A1B1C1;(Ⅱ)由題意可得AC⊥平面AA1B1B,則AC⊥BC.分別以BA、AD、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面C1BD和平面CBD的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面C1BD和平面CBD所成的角(銳角)的余弦值.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成績實(shí)行“3+3”的構(gòu)成模式,第一個(gè)“3”是語文、數(shù)學(xué)、外語,每門滿分150分,第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試,每門滿分100分,高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況,將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S,從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,他們選考物理,化學(xué),生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表:
選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù) | 1 | 2 | 3 |
人數(shù) | 5 | 25 | 20 |
(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率;
(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)將頻率視為概率,現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取4名學(xué)生,記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y,求事件“y≥2”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(m,cos2x), =(sin2x,n),設(shè)函數(shù)f(x)= ,且y=f(x)的圖象過點(diǎn)( , )和點(diǎn)( ,﹣2).
(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)將y=f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若y=g(x)的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某保險(xiǎn)的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該保險(xiǎn)的投保人成為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費(fèi) | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:
一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
概率 | 0.30 | 0.15 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
(Ⅰ)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;
(Ⅱ)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;
(Ⅲ)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某城鎮(zhèn)由6條東西方向的街道和7條南北方向的街道組成,其中有一個(gè)池塘,街道在此變成一個(gè)菱形的環(huán)池大道.現(xiàn)要從城鎮(zhèn)的A處走到B處,使所走的路程最短,最多可以有種不同的走法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線PO,PF2分別交雙曲線C的左、右支于另一點(diǎn)M,N,若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=120°,則雙曲線的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)常數(shù)).
(Ⅰ)若a=﹣2,求證:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為 (其中t為參數(shù)).現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ.
(Ⅰ) 寫出直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 過點(diǎn)M(﹣1,0)且與直線l平行的直線l1交C于A,B兩點(diǎn),求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義域?yàn)椋?,+∞)的單調(diào)函數(shù),若對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間(0,3]上有兩解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5
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