Question

已知函數f（x）=x|x-a|，（a∈R）
（1）若a＞0，解關于x的不等式f（x）＜x；
（2）若對?x∈（0，1]都有f（x）＜m（m∈R，m是常數），求a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=x|x-a|，
∴不等式f（x）＜x即為x|x-a|＜x
1⁰顯然x≠0，
2⁰當x＞0時原不等式可化為：|x-a|＜1?-1＜x-a＜1?a-1＜x＜a+1
當a-1≥0即a≥1時得不等式的解為：a-1＜x＜a+1
當a-1＜0即0＜a＜1時得不等式的解為：0＜x＜a+1
3⁰當x＜0時原不等式可化為：|x-a|＞1?x-a＞1或x-a＜-1?x＞a+1或x＜a-1
當a≥1時，得不等式的解為x＜0
當0＜a＜1時，得不等式的解為：x＜a-1
綜上得：當a≥1時，原不等式的解集為{x|x＜0}∪{x|a-1＜x＜a+1}
當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|x＜a-1}∪{x|0＜x＜a+1}
（2）∵對?x∈（0，1]都有f（x）＜m，顯然m＞0
即-m＜x（x-a）＜m?對?x∈（0，1]，-

m

x

＜x-a＜

m

x

恒成立?對?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

恒成立
設g（x）=x-

m

x

，x∈（0，1]，p（x）=x+

m

x

，x∈（0，1]
則對?x∈（0，1]，x-

m

x

＜a＜x+

m

x

恒成立?g（x）_max＜a＜p（x）_min，x∈（0，1]
∵g（x）'=1+

m

x2

，當x∈（0，1]時g（x）'＞0
∴函數g（x）在（0，1]上單調遞增，∴g（x）_max=1-m
又∵p（x）'=1-

m

x2

=

(x- m )(x+ m )

x2

，
當

m

≥1即m≥1時，對于x∈（0，1]，p（x）'＜0
∴函數p（x）在（0，1]上為減函數，
∴p（x）_min=p（1）=1+m
當

m

＜1，即0＜m＜1時，
當x∈(0，

m

]，p（x）'≤0
當x∈(

m

，1]，p（x）'＞0
∴在（0，1]上，p(x)min=p(

m

)=2

m

（或當0＜m＜1時，在（0，1]上，p（x）=x+

m

x

≥2

x• m x

=2

m

，當x=

m

時取等號）
又∵當0＜m＜1時，要g（x）_max＜a＜p（x）_min即1-m＜a＜2

m

還需滿足2

m

＞1-m解得3-2

2

＜m＜1
∴當3-2

2

＜m＜1時，1-m＜a＜2

m

；
當m≥1時，1-m＜a＜1+m．