Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD⊥平面ABE，BE=BC，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，且AE⊥BE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求證：BF⊥AC．

Answer 1

證明：（1）連接AC交BD于點(diǎn)M，如圖所示：
由正方形ABCD可得：AM=MC，
又∵F為CE的中點(diǎn)，∴MF∥AE．
∵AE?平面BFD，MF?平面BFD，
∴AE∥平面BFD；
（2）∵BC=BE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，∴BF⊥CE；
∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE．
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．
∵AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AC．
分析：（1）利用正方形的對角線的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明．
點(diǎn)評：熟練掌握線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理、正方形的對角線的性質(zhì)、三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．