Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|2x-a|，（x∈R，a為實(shí)數(shù)）
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）；
（3）g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，滿足f（-x）=f（x），構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可得實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用零點(diǎn)分段法，可將函數(shù)f（x）的解析式化為分段函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出g（a）的解析式；
（3）根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，分別求出各段上的最小值，比較后，可得g（a）的最小值

解答：解：（1）∵f（x）=x²+|2x-a|，
若f（x）為偶函數(shù)，
則f（-x）=x²+|-2x-a|=f（x）
即|2x-a|=|-2x-a|=|2x+a|
故a=0
（2）∵f（x）=x²+|2x-a|=

x2+2x-a，x≥ a 2 x2-2x+a，x＜ a 2

當(dāng)a＜-2時(shí)，則當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，即g（a）=f（-1）=-a-1
當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，則當(dāng)x=

a

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，即g（a）=f（

a

2

）=

a2

4

當(dāng)a＞2時(shí)，則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值，即g（a）=f（1）=a-1
∴g（a）=

-a-1，a＜-2 a2 4 ，-2≤a≤2 a-1，a＞2

（3）由（2）得
當(dāng)a＜-2時(shí)，g（a）＞1
當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，0≤g（a）≤1
當(dāng)a＞2時(shí)，g（a）＞1
綜上所述函數(shù)g（a）最小值為0

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的值域，函數(shù)的奇偶性的定義，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．