Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)B的軌跡方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；

(3)若G是圓C上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1（2）x－2y＋4＝0（3）

【解析】(1)連結(jié)BF，由已知BF＝BE，所以BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4，

所以點(diǎn)B的軌跡是以C、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓，所以B點(diǎn)的軌跡方程為＝1.

(2)當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，因?yàn)镈是線段EF的中點(diǎn)，O為線段CF的中點(diǎn)，所以CE∥OD，且CE＝2OD，所以E、D的坐標(biāo)分別為(－1，4)和(0，2)．

因?yàn)镻Q是線段EF的垂直平分線，所以直線PQ的方程為y＝x＋2，即直線PQ的方程為x－2y＋4＝0.

(3)設(shè)點(diǎn)E、G的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)E、G均在圓C上，且FG⊥FE，所以(x1＋1)2＋＝16，①，(x2＋1)2＋＝16，②

(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，③

所以＋＝15－2x1，＋＝15－2x2，x1x2＋y1y2＝x1＋x2－1.所以MO2＝[(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝·[(＋)＋(＋)＋2(x1x2＋y1y2)]＝[15－2x1＋15－2x2＋2(x1＋x2－1)]＝7，即M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為定值，且定值為.