Question

已知△ABC的兩頂點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），周長為6
（1）求頂點(diǎn)A的軌跡L的方程；
（2）若關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M，N在曲線L上，且已知G（-4，0），求

GM

•

GN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的周長和定點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，寫出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn)．

解答：解：（1）∵△ABC的兩頂點(diǎn)B（-1，0），C（1，0），周長為6，∴BC=2，AB+AC=4，
∵4＞2，∴點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，∴點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)
（2）M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，設(shè)M(x1 ，y1)，N(-x1，-y1)，

GM

=(x1+4，y1)，

GN

=（-x₁+4，-y₁）；

GM

•

GN

=-

x

2 1

-

y

2 1

+16
又

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1得

y

2 1

=3-

3

4

x

2 1

，∴

GM

•

GN

=-

1

4

 

x

2 1

+13，

x

2 1

∈[0，4)，∴

GM

•

GN

∈(12，13]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，注意橢圓的定義中要檢驗(yàn)兩個(gè)線段的大小，看能不能構(gòu)成橢圓，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，容易忽略掉不合題意的點(diǎn)