Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且,若，，則有.

（1）判斷的單調(diào)性,并加以證明；

（2）解不等式；

（3）若對所有,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）增函數(shù)，證明過程見解析，（2），（3）或或。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，先取值：任取,且,然后根據(jù)已知條件結(jié)合賦值法得，再根據(jù)奇函數(shù)的定義得，在上單增。（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性，去掉，要注意函數(shù)的定義域，可得，解該不等式求得的范圍。（3）這是一個不等式恒成立問題，結(jié)合（1）可知該不等式可轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，，這是關(guān)于的一次函數(shù)，只需保證即可。

試題解析：（1）證:任取,且,則 由題意

因為為奇函數(shù),所以

所以,即，所以在上單增 4分

（2）由題意得， 所以，故該不等式的解集為 8分

（3）由在上單增,，由題意,,

即對任意恒成立，令,

， 所以或或

綜上所述,或或 12分

考點：（1）單調(diào)函數(shù)的定義、奇函數(shù)的定義，（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍，（3）構(gòu)造函數(shù)解決一元二次不等式恒成立問題。