Question

對于函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]和[2a，2（a+1）]上單調(diào)且增減性相反，則稱函數(shù)f（x）為H函數(shù)，下列說法中正確的是

 

．
①函數(shù)y=x²-2x+1是H函數(shù)；
②函數(shù)y=sin

1

2

x是H函數(shù)；
③若函數(shù)y=x²-2tx+1是H函數(shù)，則必有t≤2；
④存在周期T=3的函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是H函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中H函數(shù)的定義，可得函數(shù)在直線x=t兩側(cè)單調(diào)相反，則t≥2，由此逐一分析四個結(jié)論的正誤，可得答案．

解答： 解：由已知中H函數(shù)的定義，可得a≠0，
若函數(shù)在直線x=t兩側(cè)單調(diào)相反，
若a＞0，t＞0，則a+1≤t≤2a，解得：a≥1，即t≥2，
函數(shù)y=x²-2x+1在直線x=1兩側(cè)單調(diào)相反，1＜2，故①錯誤；
函數(shù)y=sin

1

2

x在直線x=π兩側(cè)單調(diào)相反，π＞2，故②正確
函數(shù)y=x²-2tx+1在直線x=t兩側(cè)單調(diào)相反，故t≥2，故③錯誤；
周期T=3的函數(shù)f（x）的圖象若直線x=t兩側(cè)單調(diào)相反，則t＜

3

2

，故④錯誤；
故說法正解的只有②，
故答案為：②．

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了H函數(shù)的定義，正確理解H函數(shù)的定義，是解答的關(guān)鍵．